Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c (рис. 1). Докажем, что c² = a² + b².
Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b так, как показано на рисунке 2. ПлощадьS этого квадрата равна (a + b)². C другой стороны, этот квадрат составлено из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 1/2 a b, и квадрата со стороной c, поэтому

S = 4 · 1/2 · a b + c² = 2 a b + с².

Таким образом,

(a + b)² = 2 a b + с²,

откуда

с² = a² + b².

Теорема доказана.